UeBER die DiFFERENTIALGLEiCIIUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTION CtC. 15 



- {5ir-)\g, = or- - Ass.y + %[ZE^E} -4:E\R-]- 12[/J^ _ 4.ss;][EE,ß 

 + 2[E\s + E-s;\ - 2 E, Ä.S,] + d,2[&E,Rss\ - 9EEj3ss, ~SE, Rß'-R^ 

 - äßERs] - R'.s] _ 9.^s^{E's, + i?;-,s')] 



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(54«-^) Va = -■/? + 8^:, + 12J,J^ + B2J, 



Wegen des invarianten Charakters der gefundenen Ausdrücke für 

 ^2 ,'/3 erhellt, dass diese Ausdrücke angewandt werden können um jene 

 Grössen zu berechnen, ohne dass es nothwendig ist, die DifFerentialo'lei- 

 chung zuvor derart zu transformiren, dass R^ = wird. 



Zunächst haben wir die Grössen p(a) , p(h) , p(c) zu berechnen. 

 Wie man aus den Gleichungen (12) unmittelbar ersieht, sind sie von 

 einer Wurzel a der Gleichung a^ -\- 12sice = 8i?i abhängig, woraus folg-t, 

 dass man drei verschiedene Systeme von Werthen dieser Grössen erhält. 

 Es muss dann drei verschiedene Funktionen F{u) konstruirt werden kön- 

 nen, deren jede mit ihrer Abgeleiteten die gegebene Differentialgleichung 

 befriedigt und welche alle für u = verschwinden. Dieser Umstand 

 hängt davon ab, dass F{u) drei Nullstellen hat, von welchen eine mit 

 dem Punkt u = zusammenfällt und die übrigen durch v^ , v^ bezeichnet 

 werden können. Betrachtet man nämlich die zwei Funktionen 



F/,u) = F(u + V,) , F, (u) = F{u + ig , 



so findet man unmittelbar, dass eine jede dieser Funktionen ebensogut 

 wie F{u) die Differentialgleichung befriedigt und dass die beiden Funk- 

 tionen für u = verschwinden. Die Unendlichkeitsstellen der F^(u) sind 

 a — üj , h ~v^ , f — u, , diejenige der zweiten Funktion a — u^ , b ~v^ ^ 

 c — ^2 • Wir können folglich schreiben 



2\ p(u) ~ p(^a — i\) p(u) — p(b — v,') p(^u) — p(c — V,) 



F,{ii) = -\a ^^'(^) + P'(« — ^2) , . ß p'{u) 4- p'{h — V,) _^ ^ pyyj-pXç--yji 

 p(u.) — p{a — V,) p{u) — p{b - V,) p{u) — p{c — V2) 



2 



Hieraus folgt, dass die drei Systeme von Werthen der Grössen 

 p{a) , p{b) , p{c) , welche aus der Gleichung (12) hervorgehen, die fol- 

 gende sind: 



