A. Berger, 



§ 1- 

 Supposons, que l'équation différentielle 



(1) {a,t' + 2a, ^ + a,) Çl + (bj + 6,) g + c„y = , 



où les coefficients a^ , a^ , a^ ne s'évanouissent pas simultanément, soit 

 satisfaite par une fonction entière rationnelle de t du tî'^"^ degré 



où le coefficient g^ ne s'annule pas, et où n désigne un nombre entier 

 positif ou nul. En introduisant cette valeur de y dans l'équation diffé- 

 rentielle (1), le premier membre de cette équation se réduit à une fonc- 

 tion entière rationnelle de ^, et puisque le second membre est nul, il 

 faut, que tous les coefficients des puissances différentes de t dans le 

 premier membre s'annulent. Egalons le coefficient de t" à zéro, nous en 

 obtiendrons, en observant que ^^ est différent de zéro, 



(3) «0 "^ + (^0 — ao)n + Co = . 



Nous avons supposé dans ce qui précède, que les coefficients 

 «0 , «j , «2 ne s'évanouissent pas simultanément; supposons en outre, que 

 «0 , 6o ne s'évanouissent pas en même temps, on conclura de l'égalité 

 (3), que le nombre n est racine de l'équation 



(4) a^r^ + (6o — ao) r + c« = ; 



en effet, les quantités «o ßt, èo ne s'annulant pas simultanément, l'égalité 

 (4) est effectivement une équation à l'inconnue r du second ou du pre- 

 mier degré. 



De l'équation (3) on conclut, que l'équation différentielle (1) sera 

 de la forme 



(5) (a^f a- 2aif + rts) ^ -f (bot + è J -j^ + nÇa^ — ho — aon)y = , 



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ce qui démontre le théorème suivant. 



