Sur les fonctions entières rationnelles, etc. 3 



Théorème I. Soit donnée une équation différentielle de la forme 



(a,f + 2aj + a,) g- + (b,t + ^) ^ + c,^J = , 



ou les coeffcients a„ , Ej , a» ne s'annident pas simultanément, et oh les coef- 

 ficients a„ , bg ne s'annident pas simultanément, et supposons, que l'on satis- 

 fasse à cette équation différentielle par une fonction entière rationnelle de la 

 variable t, le degré de cette fonction sera racine de U équation h l'inconnue r 

 du second ou du premier degré 



et l'équation différentielle sera de la forme 



{a^f ^2a,t-\- aj -^ + {bot + è,) ^ + «K - 60 — ao«)y = , 

 dt dt 



en désignant par n un nombre entier positif ou nul. 



On ne peut pas conclure de ce théorème, que toute équation dif- 

 férentielle de la forme (5) soit satisfaite par une fonction entière ration- 

 nelle; de plus, on ne peut pas en conclure, que, si l'on satisfasse à l'équa- 

 tion différentielle (5) par une fonction entière rationnelle, le degré de 

 cette fonction soit nécessairement égal à n. Mais si l'équation (4) n'a 

 aucune racine entière positive ou nulle, il s'ensuit certainement, qu'il 

 sera impossible de satisfaire à l'équation différentielle (1) par une fonction 

 entière rationnelle de t. 



Après avoir montré, que l'équation différentielle (1) sera néces- 

 sairement de la forme (5), si l'on peut satisfaire à elle-même par une 

 fonction entière et rationnelle de t, nous démontrerons dans ce qui suivra, 

 que l'on satisfera effectivement à cette équation différentielle par une 

 fonction entière et rationnelle de t. A cet effet nous transformerons 

 d'abord l'équation différentielle sus-dite par une substitution de la forme 



(6) t = ßx + Y , 



où nous désignons par x une variable indépendante nouvelle et par ß 

 et / deux constantes arbitraires, excepté que ß ne s'annule pas. La 

 substitution (6) étant linéaire, il faut, que l'équation différentielle (5) et 

 l'équation différentielle transformée soient satisfaites par des fonctions 



