Sur les fonctions entières rationnelles, etc. 7 



2) x^ + (À.r + ^)4^-ray = 0, 

 dx' dx 



ou l. ne s annule pas; 

 cl X" Cl X 



oh 1 — A n'est égal à aucun des nombres 

 n , ?i+l, Î2 + 2, 2n — 1 ; 



(à th (-Il X 



OU 1 — l n'est égal à aucun des nombres 



n , n+1, ?2 + 2, . . . . 2n — 1 . 



S'il y a une fonction entière rationnelle de la variable a-, qui 

 satisfait à la première ou à la deuxième de ces équations différentielles, 

 le degré de cette fonction sera, d'après le théorème 1, racine de l'équa- 

 tion du premier degré 



y 



(27) lr — nl = ; 



puisque l ne s'annule pas, le degré de cette fonction sera égal à n. 



Mais s'il y a une fonction entière rationnelle de la variable x^ 

 qui satisfait à la troisième ou à la quatrième des équations différentielles 

 sus-dites, on conclura du théorème I, que le degré de cette fonction 

 sera racine de l'équation du second degré 



(28) r^_|_ (;i_ l)r + n(l — À — n) = ; 



par suite le degré de cette fonction sera égal à n ou égal à 1 _ À — n . 

 Puisque le degré d'une fonction entière est un nombre entier positif ou 

 nul, et que la quantité \ — l n'est égale à aucun des nombres 



(29) jî,n + l,n + 2,...2n — 1, 



il s'ensuit, que le degré de la fonction sus-dite sera égal ou supé- 

 rieur à n. 



Par là nous avons démontré le théorème suivant. 



