8 A. Berger, 



Théorème III. On ne peut satisfaire à aucune des quatre équations 

 différentielles, mentionnées dans le théorème II, par une fonction entière ra- 

 tionnelle de X, dont le degré est inférieur an. Si l'on satisfait à la pre- 

 mière ou à la deuxième de ces équations différentielles par une fonction 

 entière rationnelle de x, le degré de cette fonction sera égal h n; et si Von 

 satisfait à la troisième ou à la quatrième de ces équations différentielles par 

 une fonction entière rationnelle de x, le degré de cette fonction sera égal ou 

 supérieur à n. 



Cela établi, supposons que l'une quelconque des quatre équations 

 différentielles soit satisfaite par deux fonctions entières du ?i""" degré: 



(30) g ^ g.x" + g.a;"-' + .... + g„_^œ + g„ 



et 



(31) g = g\œ'- -\- g\x"~' -\- .... + g\^,x + g'„ , 



où go et g'o ne s'annulent pas. L'équation différentielle étant linéaire et 

 privée de second membre, on satisfera évidemment à elle-même par 



(32) g = g\ Çg^x" + g, x"-' + • • . + g,.) - ffoif/o^" + .</'i x"- ' + ...+ g'„) , 



expression, qui est ou une fonction entière rationnelle de a,', dont le 

 degré est inférieur à ?î, ou identiquement nulle. Mais d'après le théo- 

 rème III on ne peut pas satisfaire à l'équation différentielle en question 

 par une fonction entière rationnelle de x, dont le degré soit inférieur 

 à n; par suite le second membre de l'équation (32) sera identiquement 

 nul. Le quotient des deux fonctions entières, qui satisfont à l'équation 

 différentielle mentionnée, se réduit donc à une constante, ce qui démontre 

 le théorème suivant. 



Théorème IV. Supposons, que l'on satisfasse à une quelconque des 

 quatre équations différentielles, mentionnées dans le théorème II, par deux 

 fonctions entières et rationnelles de x du n'*"" degré, le quotient de ces deux 

 fonctions se réduira à une constante finie différente de zéro. 



, Après avoir montré, que l'on ne peut satisfaire k aucune des quatre 

 équations différentielles sus-dites par une fonction entière rationnelle, 

 dont le degré soit inférieur à n, et que l'on ne peut satisfaire à aucune 

 de ces équations différentielles par deux fonctions entières rationnelles 

 distinctes du n""" degré, nous démontrerons dans ce qui suivra, que l'on 

 satisfera effectivement à chacune de ces équations différentielles par une 

 fonction entière rationnelle de x du n'^"" degré. 



