Sur les fonctions entières rationnelles, etc. 11 



La quantité l ne s'annulant pas, l'expression de y, donnée par 

 l'équation (48) ne sera pas identiquement nulle, et l'on trouvera sans 

 difficulté, que cette valeur de y se réduit à une fonction entière ration- 

 nelle de x; d'après le théorème III le degré de cette fonction sera égal 

 à n. Par là nous avons démontré ce théorème. 



Théorème V. Désignons "par n un nombre entier positif ou nul et 

 par À, |W deux constantes arbitraires, soumises seulement à la condition, que 

 k ne s'annule pas^ on satisfera à Inéquation différentielle 



^ + a^ + ^Of'-nAy = 

 dx dx 



par la fonction entière rationnelle du n'^"'^ degré 



-1 — ^^ c?" / -,-+/^^ 



y = e ^ \e 



^ dx'' V 



Pour l == — 2 , ,« = on en conclut, qu'on satisfera à l'équation 

 différentielle 



(49) ^_2^^ + 2ny = 



dx dx 



par la fonction entière rationnelle du ji"*"^ degré 



(50) y = ,.'^,_x^; 



c'est le polynôme n"™* de M. Hermite. 



§ 3. 



Soit n un nombre entier positif ou nul, et désignons par À, ^ 

 deux constantes arbitraires, soumises seulement à la condition, que X ne 

 s'annule pas. En posant 



(51) 2 = e^^'x 



Ix n+fi-l 



1 



nous en obtiendrons par differentiation logarithmique 



(52) x^-lxz — (n+/u-l)z = 



dx 



