Sur les fonctions entières rationnelles, etc. 13 



d'où l'on tire 



(62) ,-A.j^^ + (l _^,)«j =^.,»(g + Ày 



En différentiant de nouveau, nous déduirons de l'équation (62) 



(63) eMx ^ + (2 - Àx - u) l!i _ À(l - /.)« 



^ dœ^ dx 



ou, en multipliant les deux membres de cette équation par e^ et en y 

 appliquant l'équation (59), 



(64) ,^ + (2_A._^)^=.^.-'S.|^+(U-+^)^+Ayj . 



dx' dx '■ dx' dx ' 



Cette égalité a été déduite de l'équation (59), et en appliquant 

 les équations (59) et (64) aux équations (56) et (58), nous trouverons, 

 qu'on satisfera à l'équation différentielle 



(65) ^^ + (A:c+^)$^-nÀy = 



d X- d X 



par la fonction 



(66) y = e-^x^-f' ^ (6^^"+"-') . 



La quantité k ne s'annulant pas, cette expression de y ne sera 

 pas identiquement nulle, et l'on trouvera facilement, que la valeur de y 

 se réduit à une fonction entière rationnelle de x, et le degré de cette 

 fonction sera donc égal à n d'après le théorème III, ce qui démontre le 

 théorème suivant. 



Théorème VI. Soit n un nombre entier positif ou nul, et désignons 

 par k et /u deux constantes arbitraires, soumises seidement à la condition^ 

 que l ne s'annule pas, on satisfera à Véquation différentielle 



dx d^ 



