16 A. Berger, 



Différentions de nouveau, nous en tirerons 



(Pu .,. V ^du (A — 2)/uu 



(82) X' 



i-i 



X a a; 



< dx^ dx X ' 



ou, d'après l'équation (78), 



(83)x^^ + {(4_A)^-M^ = ^"^.x'^-i^^0 + a^+A*)g+a-2)yj. 



Par application des formules (78) et (83) aux équations (76) et 

 (77) nous trouvons, qu'on satisfera à l'équation différentielle 



(84) ^^^ + (A^+^)^ + n(l-Â-% = 



dx^ dx 



par la fonction 



(85) y=e7^=-^^(g-f^2"+A-2) . 



La quantité 1 — X étant diff'érente des nombres 



?i , n + 1 , w + 2 , . . . . 2n — 1 



d'après la supposition sus-dite, il s'ensuit, que la quantité 2n -{- l — 2 

 ne sera égale à aucun des nombres 



, 1 , 2 , . . . . n _ 1 ; 



donc l'expression de ?/, donnée par l'équation (85), ne sera pas identi- 

 quement nulle, et l'on trouvera sans difficulté, en exécutant les differen- 

 tiations, indiquées dans le second membre de l'équation (85), que la 

 valeur de y se réduit à une fonction entière rationnelle de ^, dont le 

 degré ne s'élève point au delà de n. Puisque cette fonction entière 

 rationnelle satisfait à l'équation différentielle (84), son degré sera égal 

 à n d'après le théorème III. Par là nous avons démontré le théorème 

 suivant. 



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