22 A. Berger, 



Faisons eu dernier lieu 1 = 2, /u = , nous conclurons du théo- 

 rème précédent, qu'on satisfera à l'équation différentielle 



(112) (:.•■-' -1) ^ + 2..^_;z(n+l)y==0 



(i X (I X 



par la fonction entière rationnelle du n''"" degré 



(113) y = i^ {(^^ _ 1)"] ; 



c'est le polynôme n"'"" de Legendre à un facteur constant près. 



§ 6. 



Dans les paragraphes précédents nous avons déduit des expres- 

 sions analji'tiques pour les fonctions entières rationnelles, qui satisfont 

 aux quatre équations différentielles, mentionnées dans le théorème II. 

 Nous désignerons ces quatre fonctions de la manière suivante: 



«r fin I h"i\ 



(114) //„(,x., A, ,«.,») = . ■' ■ ±-y , 



(115) U^ {X , ^ , u , n) = e-'--x'-i' -f^ (t^-^ x^+f"-^) , 



il x" 



(116) ^(^,^,^,«)=e^.r-'^(<^"^^"+'-^) , 



(in) i/. (...... .0 = (.■ - r;-^(^Jlj^- 1)-'(^, 



et nous nous servirons de celles-ci pour développer quelques fonctions 

 en des séries. Soit ?î un nombre entier positif on nul, comme il a été 

 dit plus haut, et désignons par l et jU deux quantités quelconques, de 

 sorte que l ne soit soumis à aucune condition. On trouvera sans diffi- 

 culté, qu'aussi dans ce cas les fonctions (114), (115),' (116), (117) satis- 

 font aux quatre équations différentielles. Quant à ces fonctions, elles 



