SUK LES FONCTION^ ENTIÈRES RATIONNELLES, CtC. 23 



seront désonnais entières et rationnelles comme auparavant, mais leur 

 degré pourra différer de n. 



Définissons z comme fonction de ,r et de t au moyen de l'égalité 



(118) z = ., + tf[z) , 



i\ chaque valeur de t correspondront en général plusieurs valeurs de 2; 

 mais en considérant la valeur de c, qui se réduit à x pour t = , nous 

 aurons d'après un théorème de Lagrange le développement 



(119) F{z) = F{.) + Y y-r-^J — ~-§^ {/W"n^)i 



pour les valeurs suffisamment petites de t. Par differentiation par rap- 

 port à X on tire de la formule (118) 



(120) ^^ * ^ 



ö.f l-tf'{z) 



et de l'équation (119) on déduit, en différentiant par rapport à a; et en 

 y appliquant l'équation (120), 



ou, si l'on remplace F'{z) par (f(c), 



Substituons successivement dans les équations (118) et (122) 



(123) /(.) = 1 , /(.) = z , f[z) = z^ , fiz) = .^ - 1 , 



nous en obtiendrons les résultats suivants. 



1) Pour /(z) = 1 on déduit de l'équation (118) 



(124) z = x + t, 



et de l'équation (122) on tire dans ce cas la formule de Taylor 



(125) cp(x + = T y— -^ ^V(^)- 



„=o i- ■ ^ ■ à . . . n dx 



