Sur les fonctions entières rationnelles, etc. 25 



Cela posé, nous ferons usage des quatre formules (125), (128), 

 (131), (134). 



1) En faisant 



(135) (p{o.) = e' 



dans l'équation (125), nous en obtiendrons le développement 



(136) e^^'"''''' = Y Mi^lü^)l , 



n=o 1 . 2 . 3 • . . n 



où la fonction Hg{x , l ^ /u ^ n) est donnée par l'équation 



(137) H,{x,l,^,n) = e~~'^^{e~^^'') . 

 Pour l = — 2 , ^ = on en déduit la formule 



^^^^^ ' = i 1.2.3. ..n ' 



ou 



(139) /r,(^-,-2,0,r,) = e^^/^.-^ . 



dx 



2) Introduisons dans l'équation (128) 



(140) (f{x) = e^xf-^ , 

 nous en tirerons le développement 



(141) e^ (1 - 0"'' = T ^L(fjjLLiii_^)Ü , 



n=o 1 . 2 . 3 . . . n 



où la fonction H^{x ^ l ^ jj, , n) est déterminée par l'équation 



fin 



(142) ^j (a; , A , ^ , n) = e-^x^-f" -— (e^^a;"+''-') . 



(X I/O 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 



