2 Göran Dillner, 



I. MÉTHODE GÉNÉRALE D'INTÉGRER UNE FONCTION À DES 

 POINTS CRITIQUES D'ORDRES RÉELS. 



Identité fondamentale. 



1. Nous prenons pour point de départ l'identité fondamentale bien 

 connue [11(24)] 



(1) rf(z)dz + fm -fX=)}dz =T I y(z)dz , 



c'est-à-dire qu'en supposant la fonction /(e) synectique en tous points- 

 du chemin d'intégration la somme de l'intégrale de f(z) , prise autour 

 du contour fermé C qui renferme les lacets A^ , . . . , A„ allant du point 

 Zg et entourant par les cercles infiniment petits ® ,...,© les points 

 critiques a^ , . . . , «,. comme centres, et de l'intégrale de la fonction 

 {/(z) — fv(z)} 1 prise du point z^ à un point c du contour C , fv{z) étant 

 la valeur de f{z) après que z a décrit le contour C en sens positif, est 

 identiquement égale à la somme des intégrales de f{z) , prises suivant 

 les lacets A^ , . . . , A,. ■ 



Développement dune fonction à points critiques d'ordres > (— 1) . 



2. En désignant par .s un entier positif et par a , .r et /* des 

 points situés à l'intérieur du contour C, nous posons dans (1) 



(2) m = ^-^ log '-ii-'L , 



'^ ■' ^ ^ (,z — ny ^ z-k ' 



où la fonction F{z) est supposée de n'avoir d'autres points critiques ren- 

 fermés dans l'intérieur du contour C que les points multiformes a, , . . , a^. . 

 L'identité (1) se mettra donc, à l'aide de I (14) et II (14), sous la forme^ 



(3) r^'^^-^ log i--_ii dz + 2ni r-^ dz 



^ ^ J (z — ay ^ z-h ^ Jn {z - aj 



2ni 7"et^m z — xf-^\'-^Ç^'- F(z) 1 z-a; . 



'iF(z) log; -4- Z ^^ — log dz 



s-1 1^ ^^ "^ z-l^ ^ :tj {z-ay ^ z-h 



- n F(0 - i^.(-) î log ^-| . ^^, . 

 Jza z — Il [z — a) 



