Développement d'une fonction analytique pour un contour etc. 3 



Maintenant il s'agit de trouver la moindre valeur de s finie ou 

 infinie pour laquelle l'intégrale prise autour du contour C soit rendue 

 égale à une quantité J finie ou nulle en même temps que le contour C 

 s'étende sur tout le plan, c'est-à-dire qu'il soit pris de plus en plus grand 

 à devenir infini en tous les sens. En eff'ct, la valeur de la quantité J 

 se déterminera en la posant sous la forme, 



valeur qui, pour z = 



(4) 



en même temps que 



(5) 





log 



d log c , 



O 



deviendra 



lim^XîL 



(.= .) (2 — ay 



= 9Î , 



les quantités 50Î et 9Î étant toutes deux finies ou toutes deux nulles [I 

 û° 6 et II n° 7] '). 



Pour évaluer la somme des intégrales des lacets ylj , . . . , ^4^ nous 

 la partageons, suivant II (13), en deux sommes, celle des intégrales linéai- 

 res et celle des intégrales circulaires, 



r = k pA^ F'' A 



"- dz= V {i^._.(^)-i';(c)}log- 



h 



dz 



h {z — a)' 



V 



+ 2i 



^-^^hog^ 



(z — aj z — Il 



dz 



1) Ou doit observer que, dans la limite (5), s converge vers l'infini d'une ma- 

 nière disconiinue en se mouvant sur le contour C qui est arbitrairement choisi de 

 plus en plus grand à devenir infini en tous les sens tandis qu'il conserve son caractère 



essentiel de ne contenir parmi ses points aucun point critique de la fonction — ; . 



De plus, le contour C étant d'une forme quelconque sous la restriction que les rayons 

 vecteurs T{z - z^) soient cümparahles [II n» 7], il suffit pour la condition (5) que les 



points critiques de F{z), au voisinage åe s = j^ , soient assez dispersés pour qu'on 



puisse faire glisser la ligne C entre ces points sans toucher aucun d'eux. 



