Développement d'une fonction analytique pour un contour etc. 5 



Puisque la formule (10), sous la condition (8), est une identité, on 

 en conclut que la somme des intégrales circulaires et de la différence 

 {S{x) — ^'(/0 } forme un développement convergent, dès que les autres 

 parts de cette identité forment un résultat fini et bien déterminé. En 

 dérivant l'identité (10) par rapport à ,r, on obtiendra l'identité 



(12) -IM_ = m+ ^ 



1 



\ n^) r? 1 



(7^ 



+ 





.© 





+ 6», 



dans laquelle, puisque la différence 



F{x) 1 



{x — ay 



F(z) r^ 



est finie et bien déterminée '), la somme des intégrales circulaires et de 

 la serie SX^) forme un développement convergent. 



Les coefficients L^ , L^ ^ L^ , . . . s,q détermineront en tirant de 

 l'identité (10) les dérivées successives • 



(13) 



1 



5(^)(.r) = Z;._i(Â=. 1,2,...) 



La condition de convergence (8) annonce que les points x et h 

 doivent être situés dans l'intérieur d'un cercle, au centre a, qui ne ren- 

 ferme aucun des points multiformes a, ,...,% , les chemins d'intégra- 

 tion dans (9) étant au dehors de ce cercle; du reste, le centre a sera 

 arbitrairement choisi. 



Développemerd d'une fonction à points critiques d'ordres réels. 



3. Dans ce qui précède nous avons supposé les ordres des points 

 multiformes a^ , . . . , a^ non moindres que (— 1); pour le cas que ces 

 ordres sont des nombres fractionnaires moindres que (— 1), au lien de 

 partager la somme des intégrales des lacets A^^ , . . , A,, en les sommes 

 des intégrales linéaires et circulaires, nous introduirons dans les inté- 



1) La forme de cette diiférence, en particulier pour x = a, est donnée dans la 

 formule (120). 



