Développement d'une fonction analytique pour un contour etc. 9 

 alors, pour 



(24) //„ = ^^(r=l,2,....m) , 



la valeur H^ étant par suite nulle, et pour 



(25) sp (§) = .0 (1 - H, n ... (1 - HJ-) , 

 l'intégrale (21) prendra la forme, 



ri, r* f^'ê 



(26) - u = T— V = - ^iC '" [ 



■'PC^r "-?>©" ' 



où les limites a,'^ , $„ et .t , i , doivent satisfaire à l'équation (22), les 

 valeurs x^ = -- et ^,, = étant par suite correspondantes l'une à l'autre. 



Développeme?if général de ï intégrale (21). 



6. Si l'on pose, pour z décrivant le cercle ©, z ~ e,. =. çé\ 

 d'où il suit à log (c — e^ = ù/6 , on aura 



(27) I^^^FtA- 



= W^^logJ^^-^^^ = 2..-/iog^—^-^.0(.= l,2, ...,.), 



et par suite, en vertu de> (10), puisque dans (4) S)î = , 



(28) r_!^ = 5W-S(/0 , 

 ^" P(œy j 



où, d'après (11), 



(29) S{x) = L,{x - a) + L, ^^-^ + L, ^-^ + . . . , 



Kova Acta Keg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2 



