Développement d'une fonction analytique poue un contour etc. 19 

 Eu s'appuyant sur (51), on tire de (66) et (70) les formules sui- 



vantes, 



(72) 

 et 



(73) 



= S(/?) 

 1 







= 5(;'J , 



c'est-à-dire que chaque infini ß de Vinversion .T(u) est un zéro de son com- 

 plément 3i(u) , et que la valeur y^ est un infini de 3(u). 



Si l'on remplace, dans (51), u par ^'^(ö' = 1 , 2 , . . . , î?i — 1) de 

 (70), on aura 



(74) 



6„, = C3(;'„)-^(a=l,2,...,m_l) , 



c'est-à-dire que y^io = 1 , 2 , . . . , m — 1) est un zéro de (1 — HgS(u)'"^) , 

 zéro qui en même temps^ d'après (53), annide la dérivée 3'(u). 



Points caractéristiques. Nombres caractéristiques. 



13. Nous appelerons les trois points a ^ ß ^ y^ ^ c'est-à-dire le 

 zéro et l'infini de J(u) et le zéro de («/(m) — <?J , points caractéristiques 

 et leurs ordres respectifs 2Ï , 33 , (5 nombres caractéristiques de l'inver- 

 sion J(u). 



Les trois nombres caractéristiques de J(u) sont donnés par les 

 formules II (55), (57) et (58) et ont les valeurs suivantes, 



(75) 



21 = 



S3 



, V e/'(u) 1 



[u — a) ^^ ^ = 1 , 



(u - ß) 



«=J'(i 



(S 



Jiu) 

 J'(u) n 



in — n 



(u~y ^ - ^"^^ — = — - — (o = 1 , 2 



, m) . 



Le type général J{u) comprend deux classes essentiellement dif- 

 férentes d'inversions, celle à nombres caractéristiques tous entiers et celle 

 à nombres caractéristiques non tous entiers. La première classe comprend 



