Développement d'une fonction analytique pour un contour etc. 23 



Si l'on prend la première intégrale (47) en sens négatif suivant 

 le même chemin qui donne la période 212^, on obtiendra la période 



"p=l,2,...,?z- 

 (82) 2i2;, = - [G'-^' + e_,GT] .. = 1 , 2 , . . . , m 



'-(7=1,2,. ..,m 

 présentant la valeur —212^. 



Par conséquent, si l'on prend la même intégrale suivant le même 

 chemin en sens positif ou négatif un nombre illimité /u de fois, on ob- 

 tiendra le multiple de période 2jliS2^{u = , ± 1 , + 2 , . . .) . 



Par les multiples 2ju^ £2^ , 2^^ -^2 ^^ deux périodes distinctes^ c'est-à- 

 dire périodes dont le rapport est une quantité complexe, on formera un 

 réseau de périodes, dont le parallélogramme élémentaire est déterminé par 

 les côtés 2_Qj et 2/2^ . 



S'il y a V périodes distinctes (r > 2), le mot distinctes comprenant 

 aussi la propriété des périodes d'être indépendantes^ c'est-à-dire qu'un 

 multiple de l'une d'elles ne peut pas s'exprimer par une somme des 

 multiples des autres, on en formera, par la combinaison de leurs mul- 

 tiples deux à deux, ~y{y — 1) réseaux de périodes; par la combinaison 



de leurs multiples trois à trois on obtient, d'après une démonstration de 

 Jacobi bien connue, un réseau de périodes à parallélogramme élémen- 

 taire infiniment petit. Une propriété essentielle de ces multiples de pé- 

 riodes est que les nombres ^j , ^t^ , . . . , comme dépendants des chemins 

 d'intégration arbitrairement choisis, peuvent représenter tout arbitrairement 

 la valeur ou des entiers positifs ou négatifs; par conséquent, le choix 

 du réseau de périodes s'il y en a plus qu'un est tout h fait arbitraire. 



Développement de inversion J(u). 



15. Supposons que le réseau de périodes de l'inversion J{iî) 

 s'étende sur tout le plan et que les côtés extrêmes de ce réseau repré- 

 sentent le contour fermé C; alors, en mettant dans (3), pour s = , 



on aura l'identité 



rV(2) log ^^ dz + 2ni rj(z)dz 

 J z — h J^ 



= ï rV(e) log 1=-^ dz - fl J(.) _ Uz)] log 1 

 ,.=1 J 2 — n L z 



z — u , 



— (I z 



