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OÙ les lacets ^i , , . . , Af, entourant tous les points critiques «i , . . . , a^ 

 de J(z), sont situés à l'intérieur du contour C. Pour le cas qu'il j a un 

 point critique a^ sur le chemin d'intégration C, on évitera, de la manière 

 usitée, ce point en prenant l'intégrale suivant la demi-circonférence du 

 cercle infiniment petit . Puisque la fonction JÇ^z) , en vertu de sa 

 double périodicité, est finie à chaque point du contour C, on obtiendra, 

 d'après (10) à l'aide de (4) et (5), l'identité 



(83) rj(z)dz=:m(,u-h) + A^.Z 1"" JU^)\og'^dz + S(u)-Sih) , 



Jn 2m ,^iJ z — h 



ou plutôt l'identité dérivée [(12)], 



(84) J(xt) = m + ^ Z f ' JU^) -^'- + S'{u) . 



2m ^^iJ u — z 



où l'on a posé, d'après (11), le développement 



(85) S'{u) = i^o + L,(ii - a) + 4 (m - a)^ h , 



les coefficients Z^ , Z^ , Z/g , . . . étant, d'après (9), exprimés par la formule, 



(86) 9 

 2t[ 



1 '•='•■ [-"r-Sr 1 \ riz rM n) riz 



^^r=i^z. ( 1(2 — «r -^. ( 1(2 — «r 



= _z:,_,(A = i,2,...) , 



mais évalués, par des dérivations successives de l'identité (84) par rap- 

 port à u, suivant la formule (13) ou 



u—a 



(87) ^_ I 5<^)(«) = L,_, (i = 1 , 2 , . . .) . 



D'un autre côté on a, d'après (14), l'identité 



(88) r.J{::) '(lz = m (il - h) + S(ii) - Sih) , 



ou plutôt l'identité dérivée 



(89) J{u) = m + L,+L,{u-a) + L,{:u-aY+ ..., 



