Développement d'une fonction analytique pour un contouk etc. 25 

 où les coefficients s'expriment, en accord de (9), par la formule 

 1 



(90) 



2 7TÎ 



= - X, , (i = 1 , 2 , . . .) , 



mais s'évalueront, par des dérivations successives de l'identité (89) par 

 rapport à u, suivant la formule 



v = a 



(91) j^ j \j(rO-^f~'^= ^A_. (A = 1 , 2 , . . .) ; 



par suite l'identité (89) prend cette forme ordinaire, 



(92) J(u) = J(a) + J'(«) (« - «) + Ç^ (u-ay + ... , 



le cercle de convergence étant borné par les chemins d'intégration, allant 

 du point Zg aux points généralement critiques ß et y^{o = l ^ 2 , . . . , m). 

 En comparant les deux formules (90) et (91) nous voyons que la 

 configuration différente des points critiques a, , . . . , a^. , qui dépend du 

 choix différent du réseau de périodes s'il y a plus que deux périodes 

 distinctes, n'aura aucune influence sur les valeurs des coefiicients L^ , 

 Lj , Lj , . . . qui ne dépendent que des valeurs constantes de J(ii) et de 

 ses dérivées successives pour u = a. Donc, nous avons cet énoncé d'une 

 importance essentielle: 



■ La valeur de Vinversion J(u) est indépendante du choix du réseau de 

 périodes s'il y a plus que deux périodes distinctes. 



Remarque I. Si le réseau de périodes, arbitrairement choisi, est 

 celui à parallélogramme élémentaire infiniment petit, le développement 

 (92) subsistera encore pour un cercle de convergence infiniment petit, 

 c'est-à-dire pour lim (u — a) = , la valeur de la fonction J{il) étant par 

 conséquent égale à la valeur constante J{a) qui est arbitraire en même 

 temps que a. 



Remarque IL Le rôle essentiel que jouent plusieurs périodes 

 distinctes dans l'inversion J{u), c'est de former un réseau infini dont 

 les côtés extrêmes représentent le contour C suivant lequel l'intégrale 



"'^ z — u 



J(z) log — - — dz soit prise pour obtenir une valeur finie indépendante 



z — h 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 4 



