Développement d'une fonction analytique pour un contour etc. 27 

 où les coetSeieuts seront déterminés d'après la formule 



(97) i- / [(/00 - e„)if = Z, (;. = 1 , 2 , . . .) , 



toutes les dérivées étant finies pour u = y^. 



Développement de (inversion complémenlaire 3(u). 



17. La fonction ^(ii)" ayant, d'après (51), nécessairement le même 

 réseau de périodes que l'inversion /(?<), il s'ensuit que les identités (83) 

 et (84) subsistent encore si l'on y remplace l'inversion J(iî) par l'inver- 

 sion complémentaire 3(h). Par conséquent, on aura, en accord de (89), 

 le développement 



(98) 3(„) = 9K + A+A("-«) + A("-«)' + --- , 



où les coefficients Z„ , Zj , Xj , . . . s'évalueront suivant la formule 



(99) -^ ' k{ic)-mf"'^ = L?.-, (/=1,2,...); 



par suite le développement (98) prend cette forme ordinaire, 



(100) 3 (m) = 3 (a) + 3'(«) {u ~a) + ^^ (n _ a)^ + . . . , 



le cercle de convergence étant borné par les chemins d'intégration, allant 

 du point z^ aux points généralement critiques ß et ;'j,(a = 1 , 2 , . . . , 7?i). 

 Pour 71 = 2 , l'ordre 3/j de l'infini y„ étant un entier {m — n) [(78)], 

 le point y^ est uniforme; donc, on aura, en faisant usage de l'identité 

 (12), ce développement 



(101) 3(u) = 9R + .-^ 1 f " 3(^) ^^ + S'(«) , 



où a, , . . . . Oj. représentent toutes les valeurs /„, dispersées sur tout le 

 réseau de périodes infini et où le cercle de convergence est borné par 



