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et que l'infini double de J{u) a la valeur 0. Les deux zéros simples A 



et A de JÇii)-, correspondants à cet infini double, se détermineront, 



d'après (63) et (140), par l'équation 



sin am 



H^uJr^ = 



En vertu de l'uniformité de l'inversion J{u) on a suivant (84), 

 puisque les coefficients de la série S'{ii\ d'après (86), s'annulent, le dé- 

 veloppement 



1 '-^' r-^ r, ^ dz 



(143) J{iî) = 9ïl + -L i I J{z) 



u — z 



où ötj , . . . , a^. représentent tous les infinis doubles ß de J{ii)^ dispersés 

 sur tout le plan. Le contour de convergence du développement (143), 

 comme n'étant borné par aucun chemin d'intégration (86), se compose 

 des côtés extrêmes du réseau de périodes infini de J{u) [n" 15]. En 

 posant [(118)] 



(144) {u-ßyj{u)^g{u) , 



on aura [(119)] 



^^^^^ 2^ij -^^'^iT-z- ^ 1^73^1 - («_/3)^ + ^r=:^ ' 



mais, d'après n° 20 Remarque, on calculera les limites g {ß) , g'[ß) , . . . 

 en remplaçant J [u) dans (144) par sa valeur tirée de (127) et prenant 

 la À'^"" dérivée 



(146) I \(u- /^)' t^3 ^w + ^f^ + j [(^ - ßy]' [^s 3 oo^ + 1]^'"^ 

 + ^^ [(« - ßyr[e,^{uy + i]^^-^)j 



' ' 9(u) [300^<-^> + \ g\u) muff-'^ + Mizd) g"(u) [Xnyf-''^ + • 



Donc, en faisant À = 2 , 3 , . . . dans cette formule, on aura les valeurs 

 des limites ^(/?), g'Q3) , . . . , 



