Développement d'une fonction analytique pour un contour etc-. 37 



(147) g(ß) = 1 , ./(Ä = O , . . . , 

 et par suite le développement (143) sous la forme 



(148) , j(,) = gji + ^_A_, 



où l'on aura d'après (120), pour l'infini ß = , la différence finie 



(149) lim jj(u)-lj=i/'(0) , 



et où la constante UJÎ sera convenablement déterminée en identifiant u 

 à quelqu'un des points caractéristiques de J{u)^ c'est-à-dire en posant 

 ;< = , ii = j'„ ((T = 1 , 2 , 3 , ) ou u = ± A . 



Si l'on pose suivant (144), pour /? = 0, l'identité (148) sous la forme 



(150) g{:u) = 1 + x^\m + ^'jj^^] . 



la somme J^' ne comprenant pas le terme — , et que l'on dérive cette 



ci 



identité un nombre illimité de fois, on obtiendra les dérivées successives 

 de ^(w), pour i< = , exprimées en des séries convergentes dont les 

 valeurs sont données sous formes finies dans (147). 



Le développement de la dérivée logarithmique de l'inversion J{u) 

 suivant la formule (113) se fait immédiatement en observant que la série 

 <S'(m), eu vertu de l'uniformité de J(u), s'annule et que par suite le 

 contour de convergence se compose des côtés extrêmes du réseau de 



j'C ^ 

 périodes infini de la fonction — ^ . Comme conséquence de ce déve- 



J(u) 



loppement on aura le développement de J{iC) en produit infini suivant 

 (116). D'autres développements se font suivant les formules (95) et 

 (96). Les développements de la fonction complémentaire 3(m) sont 

 donnés suivant (139) par la connaissance des développements de la 

 fonction elliptique sin am H^u . 



Application à ï inversion hyperelliptique J(u) pour n = 2 e^ m = 5. 



22. Dans ce cas les nombres caractéristiques de J(ii) sont 



21 = 1 , 



(151) 



-33 = i/=|, 

 (5 = 2 , 



