DÉVELOPPEMENT d'uNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 39 



OÙ les constantes H^ , . . . , H^ jouissent des valeurs [(24)] 



(160) H^^'s^ ((7=1,2,3,4) 



dont les numérateurs sont positifs pour 



(161) e, > e^ ■> h, > e, > e, . 



Puisque, d'après (71), J(ii) est une fonction paire d'ordre 2, la 

 périodicité de J(ii) est suivant (58) représentée par la formule 



î, = l 



(162) J{u) = J{Gf + e,u) 



L(T = 2, 3, 4, 5 



où l'on choisisse d'une manière convenable deux périodes distinctes 2i2^ 



et 2i2g qui par leurs multiples 2^,.ßi et 2f^^a^ ,^i = 0,±l,±2,... 



et «2 = > + 1 5 ± 2 , . . . , forment un réseau de périodes infini. Aux deux 



zéros A d'ordre 1, donnés par l'intégrale (63) pour m = 5 et 2-* = 2 , 



2 

 correspondent les trois infinis b d'ordre - , donnés par l'intégrale (45), 



eu égard à (36) et (43), pour »« = 5 et ^ = 3 . Tous les zéros et tous 

 les infinis de J(m), dispersés sur tout le réseau de périodes infini, seront 

 représentés respectivement par a et ß. 



On aura immédiatement, pour ö=l,2,...,5, le développe- 

 ment de l'inversion J(ii,) suivant (95) et celui de la fonction {J(u) — e^"- 

 suivant (96). Le développement de l'inversion complémentaire 3(w) qui 

 a l'infini uniforme y^ d'ordre 3 s'établit de cette manière. Mettons d'après 

 (96), pour = 5, l'identité suivante, 



(163) {J{u)-e,)'^ = f{u) = L,{u _ yù + ^(" - V-J + L,{u - y,)' + . . . , 

 où, d'après (97), 



(164) l.faXy.J=.L, (À =1,2,...) ; 



mettons ensuite, suivant (102), l'identité 



(165) (^u-y,y^{u) = f,(it) 

 qui, à l'aide de (156) et (163), s'écrira 



(166) u-y,=g{uff{u) ; 



