Développement d'une fonction analytique pour un contour etc. 41 



IV. SOMME DES INTÉGEALES D'UNE MÊME IREATIONNALITÉ AL&É- 



BRIQrE. LES LIMITES D'INTÉGRATION ÉTANT LES RACINES D'UNE 



ÉQUATION ALGÉBRIQUE Å COEFFICIENTS VARIABLES. 



Méthode de trouver la somme des intégrales. 



23. La grande question d'Abel de trouver la somme des inté- 

 grales d'une même irrationnalité algébrique, en exprimant les limites 

 d'intégration comme racines d'une équation algébrique à coefficients varia- 

 bles, question qu'Abel a traitée sous un point de vue très général mais 

 qu'il n'a précisée en détail et pour l'usage pratique que pour les fonc- 

 tions elliptiques, sera traitée ici d'après une méthode bien simple qui 

 admet de préciser en détail et d'une manière complète le théorème 

 d'addition et de multiplication des intégrales d'une irrationnalité sous la 

 forme générale de (21). 



Mettons les deux polynômes entiers et rationnels de x^ de degrés 

 r et y., 



i Z W = ^0 + ^1 -^' + • • • + kx-ix"--^ + x" , 



où les coefficients <7p , . . . , g.^, et ^^ , . . . , hx-i sont indépendants de oc; 

 mettons ensuite, pour J/j , . . . , Mu désignant des entiers positifs, P{x) 

 le produit (20) et fp les valeurs (55), les deux, identités suivantes, 



(172) G nÇv) ^G(œ- œ,)"- ...(x- x^r.u = (f,Ç^y _ P(x)x(xy' 



= (cp(œ) - P{œfyXx)){ifix) - eT' P{.xy x{x)) . . . {ip{x) - e-l.PixYxi^r)) 



et 



(173) GU, {x) = G{x - /0"' . . . {x - h,Y^ = cf, (xy - Pix)x, [xy . 



= (y, {x) - P{xf Xo G^) ) i% {'^) - ^V' P{^r Xo {x) )■■■ M'^) - ^nl,P{xf Xo(^)) , 



où (po{x) et /o(.r) représentent les valeurs de (pQv) et xi^) pour x^ = k,. 

 ()' = 1 , 2 , . . . , ,w), c'est-à-dire pour un autre système de valeurs des 

 coefficients ^o , • • • i ^^ et k^ , . . . ^ kx-i ; alors nous allons étudier les pro- 

 priétés de la fonction 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 6 



