Développement d'une fonction analytique pouk un contour etc. 43 



l'irrationnalité F{x)" change en fiPix)" et les facteurs ^>» (a-) et p'^'Ça') 

 changent en p„_^Çv) et Pç^_^(,x)i tandis que la fonction AÇœ) ne change 

 pas de valeur; de plus, si l'on pose 



(178) ièim = 1 , 



(p{x) Z 



la fonction A{£)^ puisque fj -)- f, -|- . . . + f„ = 0, se mettra sous la forme 



(179) - A{x)^}^MM^z'z,,\oA\-'^\ 



(p[x) i,=i ^ Z' 



n>(x)xo(ß) 



e = n I j-1 



^0 ^ 



log 1- 



ft 



où Z^ représente la valeur de Z pour 9 (a;) = y^Cx) et x{x) =Zo(^) ^ ^* ^^^ 

 l'on suppose que la valeur x — e^ n'annule aucun des polynômes ^'(.r) et 

 </9(,(a;); donc, obtenant la limite de la fonction A{x)^ pour x = e^, sous forme 

 r/'i<?zé quantité finie, on en conclut çwf le point x =t e^ (r = 1 , 2 , . . . , m) 

 est un point synectique de la fonction A(x) '). Enfin la limite 



limZlogfl-^ 



(:r=J-) ^ Z 



pour S <Q et â > Q [(176)], c'est-à-dire pour Z= 1 et Z= [(178)], 



jouit des valeurs respectives ( — f^') et 0, valeurs qu'acquiert cette limite 



aussi en remplaçant Z par Zq. Pour cT = 0, la valeur .^ = - rend les 



quantités Z et Zq finies. 



De ce qui précède nous voyons qu'il n'y a d'autres points criti- 

 ques de la fonction AÇxr) que les infinis multiformes x = x,- et x = i'r 

 (r = 1 , 2 , . . . , //) que l'on suppose satisfaire respectivement aux équa- 

 tions Po(xr) = et ^^o'VO = ou ce qui est le même aux équations 

 Z = 1 et Zo = 1 . 



1 ) Le caractère du point uniforme a; = e^ de rendre la fonction A {x) [(1 74)] 

 finie s'envisage aussi de ce que l'intégrale circulaire 



I A{x)dx = { {x. - er)A{x)d log (x - e^) = , 



et que par suite l'intégrale de lacet, prise à entourer par le cercle infiniment petit 

 Ç^ le point e^ comme centre, s'annule. 



