44 GôRAN Dillner, 



Désignons par C un contour fermé qui renferme les lacets X^ et 

 i/^O' = 1 5 2 , . . . , /i) , allant d'un point Xo et entourant par les cercles 

 infiniment petits © et @ les points critiques x = Xr et x = hr comme 

 centres, et de plus le point a qui est tout indépendant; alors, puisque A{x) 

 ne change pas de valeur après que x a décrit le contour fermé C, nous 

 obtiendrons, d'après (1) et (3), l'identité suivante, 



J X — a r=i (-^ •^ — <ï J X — a j 



mais, l'intégrale du membre gauche, mise sous la forme 



^''^^^^A{x)d\og{x-xo) , 



/' 



s'évanouira, en vertu de (175), (176), (178) et (179), pour le contour C 

 s'étendant sur tout le plan, et la somme des intégrales du membre droit, 

 puisque l'intégrale circulaire prise autour d'un infini des fonctions log po(a;) 

 et log p'-°\x) s'évanouit [I (6)], prendra, d'après I (14), la forme 



r=l Jh,. 



'■=^ ^ ^ r^r xp (^x) dx 



r ' 



(^ — a)P(j;)" 



donc enfin, on aura pour résultat l'identité suivante qui exprime la somme 

 cherchée des intégrales, 



(180) Z M. r__^H^îO^ ^ jK^^f ,^ i,g cp{a)-eJ^Piarm , 

 '■=■ -^"r (x - a)P(xf P{af^-' cp.ia) - .^'P(a)" /„(a) 



où les limites d'intégration doivent satisfaire aux deux systèmes d'équations, 



(181) p^{x,) = cp{x.)-P{x;)'x{x,) = (r = l,2,...,^) 

 et 



(182) p»'(A.) = y.„(A,) - P{h,rx,{K) = (r = 1 , 2 , . . . , ^) . 



Remarque L Si les fonctions />j(x) et i^f (i;) (À = 1 , 2 , . . . , n — 1) 

 sont celles qui s'annulent pour x = Xr et x = K i on obtiendra, au lieu 

 de (180), cette identité. 







