46 Göran Dillner, 



où les paramètres variables indépendants /7^ , . . . , y,, et k^, ^ . . . , k^-i 

 n'entrent que linéairement ; et, puisque le nombre de ces paramètres est 

 (j/ -|_ ;{ _j_ 1) [(171)] et par suite généralement moindre que le nombre 

 (üf, 4. . . . + iff») des équations (184), on obtiendra, par l'élimination de 

 ces paramètres, des résultats auxquels doivent satisfaire les limites d'inté- 

 gration Xi ,••••) a;^ et Aj ,..., Ä^ de la formule (180), limites qui, par là 

 même, en général dépendent l'une de l'autre, le nombre D des variables 

 dépendantes, parmi x, , . . . , a;^ , étant la différence 



(185) D = (M,+ . . . + Mf.) - (y + ^ + 1) . 



Si E désigne un nombre entier qui satisfait à la condition 



(186) E>-, 



n 



nous définissons y. par l'égalité 



(187) V ^ËJ^y. ; 



donc, puisque le degré de l'équation (172) est 



(188) nv = ilf j + . . . + 14 , 



nous obtiendrons, d'après (185), la valeur suivante du nombre D des va- 

 riables dépendantes dans les résultats d'élimination, 



(189) X) = ,'{n-2) + E-1 , 



D et E ayant en même temps leurs moindres valeurs. 



Ces résultats d'élimination constituent le théorème de midtiplication 

 et, pour M^ = . . . = M^ = 1 , /e théorème d'addition des intégrales. 



Ainsi, pour n = 2 et pour la moindre valeur de ^, il n'y a que 

 les valeurs m = 3 et m = 4 qui donnent un théorème d'addition et de 

 multiplication à une seule variable dépendante; les valeurs m = 5 et 

 m = 6 donnent un théorème d'addition et de multiplication à deuœ varia- 

 bles dépendantes, et ainsi de suite. 



Somme des intégrales dune irraiionnaliié paire d ordre o, a étant un 



diviseur du nombre n. 



25. Mettons les a racines de 1 sous la forme 



(190) 0, = e^ (.« = , 1 , . . . , _ 1) , 



