Développement d'une fonction analytique pour un contour etc. 47 



racines qui par suite sont comprises parmi les racines f^ dans (55), et 

 supposons que les racines de l'équation (172) soient de la forme 



(191) 4" = 67'xr (s = , 1 , . . . , (7 - 1) , 

 c'est-à-dire que l'équation (172), en faisant usage de (177), soit 



(192) (?/7(x) = Gix" - xT . . . Cr" - x;)-^- = (fix)" - P{x)x{xT 



OÙ l'on a posé 



P{x) = a„ + a, x" + . . . + «„.r"'" , 



(193) ^{x) = x{iu + i/i ^" + • • • + gv^"") , 



X{x) = k,+ k^x'+ . . .+ K-xxi'-'^" + ^x» ; 

 ensuite, tirons de (177) les a équations 



(194) 



iJa_l {Xr) = (P(xr) — 67-1 P(.XrTx(.Xr) = 



(r=l,2,...,^0 



qui sont satisfaites en remplaçant la racine Xr en ordre par les a racines 

 07^ Xr (s = , 1 , . . . , a — 1) ; alors, pour yj{x) désignant un polynôme paire 

 d'ordre ff, nous obtiendrons, suivant (180) et n° 23 Remarque I^ l'identité 



.(») 



[M.f;,^sâi^^_+,;ÏM, 



c)dx 



(x-a)P(xT 



.(1) 



ip{x)dx 



m 



(^_d)P{xf 



-+• 



r=ft 



+^-'ÂMc:. 



^■^■""^ ■^('^)^-^' . = A{a) , ^ 



(jc-a)P{xT 



où /i<;' désigne la valeur de 4'*, pour cpÇx) = (fioCx) et x(x) = Xo(x) ; mais 

 cette identité, différentiée par rapport à xf , . . • , a;^' (■? = , 1 , . . . , a — 1) , 

 prendra, à l'aide de (191) et (193), cette forme. 



