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Ces résultats d'élimination constituent le théorème de multiplication 

 et, pour Mj = . . . = Mft = 1 , /e théorème d'addition des intégrales d'une 

 irrationnalité paire d'ordre a. 



Ainsi, pour n = o = 2 et pour la moindre valeur de E, il n'y a 

 que les valeurs m = 2 et m = 3 qui donnent un théorème d'addition et 

 de multiplication à une seule variable dépendante; les valeurs ?« = 4 et 

 m = 5 donnent un théorème d'addition et de multiplication à deux va- 

 riables dépendantes, et ainsi de suite. 



Trois espèces des intégrales (180). 

 27. Mettons l'identité (180) sous la forme 



V M. ^^-^- . =-aA(a) , 



et supposons que a qui est tout indépendant converge vers l'infini; alors, 

 on aura la limite 



(206) '/ if, rrxjj{x)dx ^ _ jj^ ^^^^^ ^ 



,■=1 Jhr PÇ^fY ("^tt 



où les intégrales sont dites de la première ou de la deuxième espèce sui- 

 vant que 



(207) lim a -.4 (a) = 



ou 



(208) \im a A{a) = A , 



A étant une quantité finie différente de zéro. L'intégrale (180), par rap- 

 port à ces deux espèces d'intégrales, est dite de la troisième espèce. 

 Si l'on met ^{x) sous la forme 



(209) xp,{x)=:kJrk^+---+ h-.--^^-' + ^' , 



m 



on obtiendra, en. vertu de (179), (186) et (187), pour S <Q ou v> — + y. 



n 



dans (176), le système suivant des intégrales de la première espèce 



{y > 1 + Z + ;.) , 



