Développement d'une fonction analytique pour un contour etc. 53 



(215) ^l M, pV'.iWc?^ _0 (;i = 0,l,...,E-l). 



La somme des intégrales de la deuxième espèce (r = A -f x) prendra, 

 pour â < , la forme 



(216) 



I M.. 



'''■ ilij^(x)dœ n 

 P(œy ^ 



ff. gV 



(l = E) , 



et, en vertu de (174), pour J = , la forme suivante, 



(217) '^^MJ''"l^i^ 



1 P 



V fp log 9v-fQ «= 



^ (^ = ^) , 



aa 



n e = i 



.9; 



(0) 



fp ä(„ 



où ^;^"* est le coefficient de .l'^'+i dans la fonction y„ (a;). 



Ainsi, pour ?z = a = 2 , ??t = 2 et par suite ,u = 3 , on obtiendra ce 

 théorème d'addition bien connu. A la somme des intégrales de la pre- 

 mière espèce [(215)] 



dx 



r = 3 



V 







"r p(xy 



correspond cette relation, obtenue en identifiant les'ternies indépendants 

 de x' dans (192), 



l^Xj X^Xg) 



ffi 



relation qui, combinée avec le résultat d'élimination, tiré de (196) 0'= 1, 2), 



_ a;^P(xJ —x^PÇx^) 



donne, après une réduction facile, le théorème d'addition en question, 

 lequel ne contient qu'zme variable dépendante x^ parmi les trois variables 

 a?i , Xj , .Tj . On obtiendra de plus une multitude de formules provenant 

 des propriétés symétriques des racines de l'équation (192). 



En employant la valeur de ^i donnée ci-dessus, on obtiendra im- 

 médiatement de (216) la somme des intégrales de la deuxième espèce 

 (l — 1) , la somme des intégrales de la troisième espèce étant contenue 

 dans (195). 



