Développement d'une fonction analytique pour un contour etc. 55 



ayant, d'après (204), les valeurs des entiers positifs i/, , . . . , M^ déterminées 



de manière que leur somme soit égale au degré (l'a + 1) - de l'équation 



a 



(192) par rapport à x". Ainsi, pour n = a = 2 ou pour les intégrales 

 elliptiques et hyperelliptiques eu sens restreint, on aura [(202),. (203)] 



fi = E+l et 2 (E + z) + 1 = .]/, + ...+ i/„ , 



formules qui, pour x = , donnent, pour m = 2 et m = 3 , les égalités 

 a = 2 et i¥j + J/g = 3 , et, pour m = å et m = 5 , les égalités ^ = 3 et 

 J/j -|- il/j, + J/g = 5 , et ainsi de suite. 



Pour n = 2 , c'est-à-dire pour les intégrales elliptiques et hyper- 

 elliptiques en sens restreint, il y a une manière particulière de diminuer 

 le nombre des variables indépendantes jusqu'à une. En effet, si l'on 

 pose dans (20) et (171) 



( p(.y) = (,^. _ ,,j . . . ç^ _ e^^,_,) PX.t) , 



(220) , 



t (fÇt) = [(x — e„,) . . . (x — e„+,^s)y (psÇv) , 



le facteur [(x — e„,) . . . (x — e„,+i_j)]" étant par suite contenu dans la fonc- 

 tion (f;{x), il s'ensuit que la fonction A{x) [(174)] prendra, pour ;f (a:) = 1^ 

 la forme 



(221) A {œ) = JM^ 'f e, log ïÂ^â^ZlJîl^ML , 



tïù (pos(x) est la valeur de (p,(x) pour x^ = A^()- = 1 , 2 , . . . , ^); par consé- 

 quent, puisque f"' (p = 1 , 2) ne représente que les deux valeurs (+ 1) ^ 

 la fonction A(x) est encore uniforme et finie pour x — ejr = 1 , 2, . . . , m), 

 et l'on aura, au lieu de (172), l'identité suivante, de degré ju = 2i' — s, 



(222) Gn(x) =G(x- X,) . . . (x - x^) = cflxy - PXx) 



= {%{x)-Ps{x)){cpXx) + PXx)) , 

 identité qui donne ce système d'équations [(181)], 



(223) cp,{x.) - Pixr)^ = (r = 1 , 2 , . . . , ^0 > 



