Développement d'une fonction analytique pour un contour etc. 57 



y^ ~ r ~ — v ' 



3-1 — e^ a-2 — e^ 



donne le théorème d'addition en question. 



On vérifiera ce théorème en combinant la différentielle logarith- 

 mique de la première relation, 



1 — ^' 1 



Xl — ^3 X2 — «3 



avec le dernier résultat, ce qui donne 



dxj dx2_ ^ Q 



De même, on obtiendra, pour ?n = 5 , r = 2 , s = 2 et par suite 

 ^ = 3, ce théorème d'addition analogue, à une variable indépendante x^. 

 Aux deux sommes des intégrales [(225)] 



i riM^^o a = o,i) 



-'A PCxY 



correspondent ces deux relations, obtenues en posant a; = e^, (p = 4 , 5) 

 dans (222), 



e,(eç - x,)(e^ — x^^e^^ - x^) = P^ie^^ (p = 4 , 5) , 



relations qui, combinées avec les résultats d'élimination, tirés de (223), 



g.-j ^^ . (r=l,2,3) 



{^Xr — e,){xr — e^) 



donnent le théorème d'addition cherché. 



Ce théorème se vérifiera en combinant la différentielle logarith- 

 mique des premières relations 



dx, ^ dx, ^J^^^^ (9 = 4,5) 



Xy ßp Xi Hq iCg ßp 



avec les derniers résultats, d'où l'on tire les deux équations différen- 

 tielles 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 8 



