Développement d'une fonction analytique pouk un contour etc. 61 

 d'où l'on tire, en posant 



(237) .p. = f" -^- (r = 1 , 2 , . . . , ^,) , 



-^° P{xf 

 l'identité 



(238) xr = J,.{u;} = J(ß:>, + a) = ./(w.) (/• = 1,2,...,^) , 



ayant par conséquent 



(239) il,. = A?. + 6; (r = 1 , 2 , . . . , u) 

 et, en vertu de (235), 



(240) M, ih-i + Mf^Uf, = .l/j^i -I 1- MuS:)^ . 



Si dans le théorème d'addition et de multiplication des intégrales, 

 établi aux n"' 24, 26 et 29, on remplace *i , . . . , ^>_i par les inversions 



./i(C/J,..., J'^_i(f/^_0 et x^par l'inversion Jf, — (-^ ^' + "" +~]^ ^'""V 



on obtiendra suivant (238) le théorème d'addition et de multiplication de 

 r inversion normale J(u), le théorème d'addition étant caractérisé par 

 il/i = . . . = Mf. = 1 . Les /u, variables xi , . . • , x^ étant réduites à dé- 

 pendre des (ju — 1) variables ?7i , . . . , Z7^_i , on en conclut que le nombre 

 D [(189), (205)] des variables dépendantes dans le théorème d'addition et 

 de multiplication des intégrales est diminué par l'unité dans le théorème 

 d'addition et de multiplication de l'inversion J(u). Ainsi, pour le cas de 

 l'inversion elliptique où Z) = 1 , le théorème d'addition et de multiplica- 

 tion de J{u) ne contient que des identités, les (,u — 1) variables U^ , . . . ^ 6„_i 

 étant toutes indépendantes. Ce théorème d'addition et de multiplication 

 de J{u), comprenant aussi comme cas particulier celui des fonctions 

 trigonométriques et hyperboliques, est le seul qui présente cette indé- 

 pendance absolue de toutes les variables dont le nombre le plus petit 

 pourra donc se réduire à l'unité [n° 29J. Pour l'inversion hyperelliptique 

 J{u) , caractérisée par n = 2 et m = 5 [n° 24] ou par n = ö = 2 et ?n = 4 

 [n° 26], le nombre des variables dépendantes, parmi les {/x — 1) variables 

 C/i , . . . , C/^_i , est Z) _ 1 = 1 [(189), (205)], d'où l'on conclut que le 

 nombre le plus petit des variables t^i , . . . , üf,_i dans le théorème d'ad- 

 dition et de multiplication de cette inversion pourra se réduire à 2 



