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[n" 29]; et ainsi de suite. D'un autre point de vue on peut dire que 

 la classe des inversions uniformes et des inversions réductibles à celles-ci 

 est caractérisée par un théorème d'addition et de multiplication à toutes 

 les variables indépendantes^ et que la classe des inversions multiformes est 

 caractérisée par un théorème d'addition et de multiplication aux varia- 

 bles qui ne sont pas toutes indépendantes [n° 13]. 



Ainsi, le théorème d'addition de la fonction elliptique, caracté- 

 risée par n = o = 2 et m = 2, s'obtient en remplaçant, dans le théorème 

 d'addition des intégrales correspondant [n° 28], x, , x^ , x^ par leurs in- 

 versions respectives (238), eu égard à la propriété paire ou impaire de 

 l'inversion et de sa dérivée [(134), (129)]. Le théorème d'addition de 

 l'inversion J{u), caractérisée par n = 2 et m = 3 ou 7?i = 5 , s'obtient 

 en remplaçant, dans les deux théorèmes d'addition des intégrales corre- 

 spondants [n" 27 Remarque], respectivement xi , x, , x^ ou xj , . . , , a-g 

 par leurs inversions respectives (238), eu égard à la propriété paire ou 

 impaire de l'inversion et de sa dérivée [(135), (128), (154), (158)]. Si 

 l'on diminue, d'après n" 29, pour les fonctions elliptiques le nombre ju 

 jusqu'à 2, les théorèmes d'addition de ces fonctions changent en iden- 

 tités où il n'entre qu'une variable. 



Pour faire voir comment se présentent les théorèmes d'addition 

 des inversions, considérés comme transformations de ceux des intégrales, 

 il suffira d'en donner ces quatre exemples. 



1° Pour ??, = = »t = 2 , r =1 et a = 3 . on transformera le théo- 

 rème d'addition des intégrales [n" 28], mis sous la forme 



+ .^ ^ (a;i — a^D ^ _ x.Pjx^y +X2P(xiy 



x,P(x,f - XrP(,x,y ao-a,xlx^ 



en celui de l'inversion J(u) = snu [(139)], ayant dans ce cas h^ = /h^ = 

 /ig = , öq = 1 , öl = — (1 -)- Ä;^) , a, = ^'% SUM impair et sn'u pair [(129)], 



„ / s suu.s n'wo + s n lu s n'u, 

 snfM, + Uo) = î î^^ ?- , 



1 — k s n u^ s n" U2 

 où les variables ?<j et u^ sont toutes deux indépendantes. 



2° Pour ?2 == 2 , î?), = 3 , r = l et m = 3 , on transformera le théo- 

 rème d'addition des intégrales [n° 27 Remarque] 



