8 A. Berger, 



n par n — 1 , nous aurons pour « ^ 2 



(42) n„_iU„_2 + M„i<„_i = M2„_i , 



et des équations (41) et (42) on déduit par soustraction 



(43) M„_lCw„ — Mn-2) + Un(.%, + 1 — M„-l) = î^2«+l — «<2„-l , 



d'où l'on tire, en faisant usage de la formule (2), 

 (44) ul_i + M^ = «2« ; 



cette formule, que nous avons démontrée pour ?z ^ 2 , subsiste aussi 

 pour n = 1 . 



Soit 71 un nombre entier positif, on aura d'après l'équation (2) 



(_4o) M„^iM„+2 — W„_i'i<„ = Mn+] ('^'^îi+l "T" ^«J — (^n+1 — ^U„)U„ 



ou 



(46) '"n+l?^„ + 2 — W«-l ïi„ = ^(«4+1 + '«■") 



et, par suite, d'après l'équation (44), 



Par là nous avons démontré ce théorème. 



Théorème IV. Soit n un nombre entier iiositif, on aura 



U„_i -j- U„ = U.in 



et 



M„^l'it„_l_2 — U„_iU„ — Xf-hn+'i 



Pour n > 1 on a 



(48) tg jarc tg -^ - arc tg ^^i:±i = ^ 



W„ — W„_i w„ 



*n — 1 "-"m + I 



et par suite, en y appliquant les théorèmes II et III, 

 (49) tg jarc tg -^ - arc tg ^^j = ^^ . 



Un+l Un '■''2n+l 



