10 A. Berger, 



(56) tg jarc tg '^^ -f arc tg 'i^j = (- 1)"^-'^^- +^«+.^^.+2) ^,,^,. ^ ^ ^ ^ 



(57) tg jarc tg ^^ + arc tg -^\ = C- ^)"0^'^ + ^)^' ^owr n^2 . 



Remplaçons dans la formule de recursion (2) n par ?' + 1 , nous 

 en tirerons pour 9-^1 



(58) a-u, = «,+1 — H,_i ; 



en y faisant r successivement égal à 1 , 2 , 3 , . . . n , où l'on désigne par 

 n nn nombre entier positif, nous obtiendrons par addition des égalités 

 ainsi obtenues 



r=n v=n r=7i 



(59) X Z U,- = 2 Ur+\ — Z "r-l • 



r=l r=l '•=1 



Introduisons r — 2 au lieu de r dans la première somme du second 

 membre, nous en tirerons 



r=n »■=n+2 r = n 



(60) - X JiU, = 2. 1-l'r-\ — Jl Ur-i 



ou 



(61) X 2 «'-• = — ï'o — ^'1 + "« + "«+1 





r=l 



et par suite, puisqu'on a îf^ = 1 , itj = x , 

 (62) ï Ur = "" + """+' ~ ^ 



formule, qui subsiste évidemment pour ji^O . 



En remplaçant n par 2r-\-l dans l'équation (2), nous en obtien- 

 drons pour r ^ 1 



(.63) ÄMsr = î«2,+l — Mär-1 ; 



faisons dans cette formule r successivement égal à 1,2, 3, ..,n, et 

 ajoutons les égalités ainsi obtenues, nous en déduirons pour n^ l 



r~n r=n 



(64) X 2 M2r = 2 W2r+i — Z «2,-1 



r=l r=l r=l 



