12 A. Bergkk, 



Theoreme VI. Soit n un nombre entier ])ositif ou nul., on aura 



r=n 

 V 



u = -^" + ""+' ~ ^ 



r=0 



V „ _ "2" + 1 

 ^ "2r — ^ 1 



y _ "2"+2 — -^ 



Remplaçous maintenant îi par r + 1 dans la formule (2), et mul- 

 tiplions les deux membres de l'équation ainsi obtenue par u^, nous aurons 

 pour ?• ^ 1 



(73) xul = i^M,.+i — ^^,_l^<,. 



et par conséquent, si l'on désigne par n un nombre entier positif, 



7-=n 



(74) a; 2 ?«r = Z «<>M,-+1 — Z Ur-lUr • 



r=l )■=! r=l 



En introduisant r -\- 1 au lieu de r dans la dernière somme du 

 second membre, nous obtiendrons 



r=n r=n r=n — 1 



(75) X 2 "? = 2 UrUr+l — Z UrUr+l 



et par suite, puisqu'on a m^ = 1 , r/, = .r , 



(76) a; 2 w; = ^«„^<„+l — a; , 



r=l 



d'où l'on tire 



(77) 'ïul= """"+^ , 



formule qui subsiste encore pour n — . 



D'après la formule (2) on aura pour r ^ 



(78) XUrU,^^ — Ul+i + Ul = uXxUr+l + «r) — Ul+l = «'r«r+2 — "r+l 



ou, en y appliquant la première formule du théorème II, 



(79) xu,u,+i — ul+, + ui = (— 1)'- 



