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et par conséquent, d'après l'éqnation (115), 



(119) (.f^ + 4) 4^ + .3.f 4^ - n(n + 2)u„ = . 



a X' a X 



On en conclut, que la fonction 



■ (120) y := »„ 



satisfera à l'équation différentielle linéaire 



(121) {x' + 4) ^ + 3.. ^ _ n{n + 2).y = , 



(l X (I X 



et d'après une méthode connue nous trouverons, que la solution géné- 

 rale de cette équation différentielle sera donnée par la formule 



(122) y -^^^- + ^. "--,/ , ,.(,/:^4y. ' 



en désignant par k et i, deux constantes arbitraires. Puisque ii„ est 

 une fonction rationnelle de la variable .7:, l'intégrale, qui se trouve dans 

 le second membre de l'équation (122), ne pent pas être rationnelle. Pour 

 que la valeur de y, donnée par réqnation (122) soit une fonction ration- 

 nelle de la variable x^ il faut donc et il suffit, que la constante k\ s'an- 

 nule. Par suite, toute fonction rationnelle y de la variable a;, qui satis-^ 

 fasse à l'équation différentielle (121), sera nécessairement de la forme 



(123) i/ = ku„ , 



ce qui démontre le théorème suivant. 



Théorème XL Soit n un nombre entier jwsitif ou nul, la fonction 



y = Un 



satisfera à l'équation différentielle linéaire 



(x' + 4:) ^ + 3x ^ — n{n + 2)y = ; 

 (fx' dx 



et inversement, toute fonction rationnelle y de la variable x , qui satisfasse à 

 cette équation différentielle, sera de la forme 



y = l^ii-n , 

 en désignant par k tine constante arbitraire. 



