Sur une generalisation algébrique des nombres de Lamé. 23 



Appliquons mainleiiant la formule du binôme au socond membre 

 de l'identité 



(141) (/ + 4)"+^ = ^.-+1(1 + A)""- , 



nous en obtiendrons, pour a; > 2, une égalité de la forme 



(142) (x' + 4)"+i = ,t""+' + ßx— ' + ßc^"-' + . . . , 



et en différentiant par rapport à x, nous en tirerons pour n ^ 1 



(143) -^ {(/ + 4)"+=} = (2n + l)2n(2n - 1) . . . (n + 2)x"+' + a,:r"-» 



+ /?:£"-^+--- 

 et, par suite, 



^{(,;2_|-4)"+"-} 



(144) lin. -^ = (n + 2) (n + 3) . . . (2 n + 1) . 



En faisant usage de cette formule, nous obtiendrons de l'équation 

 (140) pour n^l 



(145) k=. n2n+2) 



/■(n + 2) ' 



et en introduisant cette valeur de la constante k dans l'équation (138), 

 nous en déduirons pour n ^ 1 



formule, qui subsiste encore pour ?z = , en faisant usage de la signi- 

 fication 



(147) -^ F(x) = F(x) . 



Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant. 



Théorème XII. Si Von désigne par n un nombre entier positif ou 

 nul., on aura 



