26 A. Ekeger, 



Substituons successivement r = 0, l,2,...n dans la première 

 des équations (163), nous obtiendrons par addition des égalités ainsi 

 obtenues et par application de la deuxième formule du théorème VI 



(164) r "^in+l dœ = 4:i 3 ^~ •^^' , 



formule qui subsiste pour n ^ . 



Supposons que n ^ 1 , et remplaçons ?• successivement par 0,1, 

 2 , . . . . n — 1 dans la seconde formule (163); par addition des égalités 

 ainsi obtenues et par application de la troisième formule du théorème 

 VI nous aurons 



(165) r '"'"-'^ dx = , 



formule qui subsiste évidemment pour /z ^ . 

 De ce qui précède resuite ce théorème. 



Théorème XIII. Soit n un nombre entier positif ou nul, on aura 



P , 4(.-l)''^• r* , ^ 



J^2i 2?Z + 1 J_2i 



i xu2„dx=.0, / xu^^^^dx = 4:{—1Y+h(- - + - -) , 



J-2i J~2i ^2?z+l 2n + 3' 



r ^"~-^ d^ = , ' i" "?^ dx = 4f "y ^ZzJL . 

 J-2i ^ J-21 ^ "o2r+l 



En faisant croître le nombre entier n vers l'infini positif, nous 

 obtiendrons de la dernière formule de ce théorème 



(166) lim r !füi±L c/^ = 7IZ . 



D'après le théorème XI on satisfera à l'équation différentielle 



(167) (a:^ + A)^ + 3œ^-n{n + 2)y = 



dx dx 



par la fonction y = u„ , et par suite on aura identiquement pour n ^ 



(168) (^^ + 4) ^ + 3^ ^ _ nÇn + 2)z^„ = . 



dx" dx 



