Sue une généralisation algébrique des nombres de Lamé. 27 

 Dans le calcul suivant nous ferons usage de l'expression 



(/ + 4)^ 



pour les valeurs purement imaginaires de la variable >r, qui sont com- 

 prises entre — 2 i et 2i, Pour ces valeurs de x la quantité x^ -\- é est 

 évidemment positive, et nous désignerons par (x^ -f- 4)' la racine carrée 

 positive de a;' + 4. 



En mettant l'équation (168) sous la forme 



(169) n(n + 2)(,x-^ + 4)^«„ = A j(,.^ + 4)^4^/ , 



fix f clx ' 



nous en obtiendrons par intégration entre les limites x = — 2 i et 

 X — 2î , en supposant que n > 1 , 



(170) /'' (x' + éy-u^dx^O , 



formule, qu'on peut généraliser de la manière suivante. Remplaçons n 

 par m dans l'équation (168), nous en déduirons pour ;n ^ 



(171) (x' + 4) ^ + 3x ^ - m{m + 2)u^ = . 



a X a X 



■V. 



et en multipliant les deux membres de l'équation (168) par m,„ et les 

 deux membres de l'équation (171) par u„, nous en tirerons par sous- 

 traction 



/1 B«\ /2 AS \ d^u„ d^u,„) , o S du„ du 



(172) (x' + 4) ]u„ --^ — M„ -— f + Bx r<™ _^L - m. 



ou 



dx'' ' ' dx dx 



[n^ -\-2n — nn? — 2 m ] u„,u„ = 



(173) {n- m) {n -f in+ 2) u^uj^x' + 4)^ = A j [^^ + 4)^ [u„, ^^-u/ """ 



ûfa;' ^ dx dx 



Puisqu'on am^O,n^O, le facteur n + ?n -}- 2 ne s'annulera 

 pas, et en supposant, que les nombres m et n soient différents entre 

 eux, nous obtiendrons de l'équation (173) par intégration entre les limites 

 x = — 2/ et x = 2i 



(174) I (a;'-}- 4)=M,„M„c/,z; = , 



