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formule, qui subsiste pour m ^ , « ^ , m^n . Pour m = on en 

 déduit l'équation (170). Pour m = n la formule (174) n'est pas vraie, 

 mais dans ce cas l'intégrale définie, dont il s'agit, peut être évaluée par 

 le procédé suivant. D'après le théorème II on a 



(175) ul = u„_,u„+, + (- ly 

 pour M ^ 1 , et de cette formule on tire 



(176) fix' + ^)hcldœ = r {x' + 4:)hi„_,u„^,dx + (- 1)" | '' (/ + 4)'d.t; . 



J—2i J—'ii J —ii 



Appliquons maintenant l'équation (174) à la première intégrale du 

 second membre de l'équation (176), nous en déduirons pour n ^ 1 



(177) I '' {x^ + ^^hildx = (- 1)» r (/ + 4)id^ . 



Cette formule, que nous avons démontrée pour ?î ^ 1 , subsiste 

 encore pour n = , et en remplaçant x par 2a;^ dans l'intégrale du second 

 membre de l'équation- (177), nous en obtiendrons 



(178) r (/ + ^uldx = 4(- Vf i r (1 _ x^dx , 

 et par suite nous aurons pour n ^ 



(179) / " ix' + å^uldx = 2(_ lyjii . 



J—2i 



Nous résumons les formules (174) et (179) dans le théorème suivant. 



Théorème XI V. Si l'on désigne par m et n des nombres entiers po- 

 sitifs ou nuls^ on aura 



r2i 



I Qc^ + ^yu,„u„dx = , 



si xa et u sont différents entre eux, mais 



r ix' + åyuiix = 2{-iY7ii . 



J—2i 



