Sur une généralisation algébrique des nombres de Lamé. 29 



Désignons par P„(jx) un polynôme quelconque, dont le degré est 

 au plus égal à n, nous aurons 



(180) P„(x) = a^x" + a^x"-' H h a„_,x + a„ , 



en désignant par a^, a, ... a„ des quantités constantes, et de l'équation 

 (180) on tire 



(181) P„{x) = a^ u„ + {— a^u„ + a^x" + a, x"''' + . . . + ct„| . 



Puisque u„ est une fonction entière rationnelle de la variable x 

 du ?i'*"" degré, dans laquelle le coefficient de x" est égal à l'unité, la 

 quantité, qui se trouve entre les chrochets dans le second membre de 

 l'équation (181), sera un polynôme de x, dont le degré est au plus égal 

 à n — 1 . Par suite nous aurons une égalité de la forme 



(182) Pn(.x:) = a,u„ + P^_,(x) 

 ou, en y remplaçant a^ par c„ , 



(183) Pn(x-) = c„u,, + P„^,(x) , 



où. c„ est une quantité constante. De même on aura 



(184) P„_,{x) = c„_,u„_, + P„_,{x) , 



(185) Pn-2{x) = C„_,U„_^+P,_,{x) , 



(186) P,{x) = c,u, + P,{x) , 



(187) P,{x) = c,u, + P,{x) . 



Puisque Pq{x) se réduit à une constante, nous pouvons poser 



(188) P,{x) = c,u,, 



et des égalités (183) . . . (188) nous obtiendrons par addition 



(189) Pn(.x)^Jc,K . 



1=0 



