4 H. Petrini, 



sphère considérée doit être choisi de plus en phis petit, quand, par des 

 déformations successives, on approche le point P de la surface, de ma- 

 nière que la limite de ce rayon est égale à zéro. Mais si la limite du 

 rayon de la sphère est = 0, la démonstration de Kirchhoff n'aura plus 

 aucun sens. 



En effet, on peut employer ici la manière de voir de M. Weier- 

 strass. Dans l'arithmétique M. Weierstrass regarde une quantité a comme 

 égale à une autre quantité b^ si la différence a — b est numériquement 

 plus petite qu'une quantité donnée si petite soit-elle. En appliquant ce 

 principe à la géométrie, on peut dire qu'un point P est situé dans une 

 surface, si la plus petite distance de ce point à cette surface est plus 

 petite qu'une quantité donnée si petite soit-elle. Mais Kirchhoff n'a 

 démontré que le fait qu'une particule, qui à un certain moment se trouve 

 à l'intérieur du fluide, s'y trouve encore après une déformation infiniment 

 petite — c'est seulement à de telles déformations qu'on peut appliquer 

 la théorie des déformations homogènes — mais il ne nie pas que la 

 distance du point à la surface puisse être réduite à une quantité infini- 

 ment petite. Donc la particule, d'après le principe énoncé ci-dessus, peut 

 entrer dans la surface. En un mot: si la limite du plus petit axe de 

 l'ellipsoïde de Kiechhoff est égale à zéro, lorsque le point P se meut 

 vers la surface, et si cette limite est atteinte dans un temps fini — ce 

 dont Kirchhoff n'a pas démontré l'impossibilité — le point P sort de 

 l'intérieur pour se placer dans la surface. H y a donc un saut dans 1^ 

 démonstration de Kirchhoff. 



M. Basset^) se rend compte du théorème A d'une manière plus 

 simple en disant: »If the fluid is bounded by a surface, whose equation 

 referred to axes fixed in space is F {xy 2 i) = 0, the normal velocity of the 

 fluid at the surface, must be equal to the normal velocity of the surface, 

 hence the sheet .of fluid of which the boundary is composed, must always 

 consist of the same elements of fluid.» Ici M. Basset oublie qu'une par- 

 ticule peut abandonner une surface, si même la vitesse normale initiale 

 est zéro. Par exemple, si l'on fait tomber une pierre sans vitesse initiale,, 

 celle-ci ne reste pas dans le plan horizontal initial, quoique la compo- 

 sante normale à ce plan de sa vitesse initiale soit zéro. 



§ 3. 

 Une particule qui au moment t se trouve à la surface du fluide^ 

 se trouve au temps t -\- dt ou hors du fluide ou à la surface ou à l'inté- 



1) »A treatise on Hydrodynamics». I. Cambridge 1888. N:o 12. 



