Sur la condition a la surface dans l'hydrodynamique. 5 



rieur du fluide. Dans le premier cas la particule a quitté le fluide et la 

 continuité matérielle est rompue; c'est le cas p. ex. avec l'évaporation. 

 Si la particule au temps t -^ dt se trouve au-dessous de la surface, on a 

 — en rejetant le cas où la surface présente des points singuliers — 

 deux cas à distinguer: ou sa distance de la surface est une quantité in- 

 finiment petite d'un ordre de grandeur plus grand que celui de dt , ou 

 non, c'est à dire que la composante normale de la vitesse relativement 

 à la surface est infiniment petite ou non. Si la vitesse relative normale 

 est infiniment petite, la particule peut être regardée comme située dans 

 la surface au temps t-\-dt; dans le cas contraire le mouvement est dis- 

 continu, parce que la vitesse moyenne pendant le temps dt diffère d'une 

 quantité, qui n'est pas infiniment petite, de la vitesse moyenne pendant 

 le même temps dt des particules voisines, soit de celles qui peuvent 

 être regardées comme restant dans la surface et qui, au moment t, étaient 

 situées dans le voisinage de la particule considérée, soit de celles qui 

 se meuvent vers la surface avec une vitesse relative finie et qui, au mo- 

 ment t -\- dt^ se trouvent dans le voisinage de la particule considérée. 



On peut donc énoncer le théorème suivant: 



Théorème B. Si le mouvement na i^ias de discontinuité ni matérielle 

 ni dynamique, toute particule de la surface s'y trouve au moins à deux mo- 

 ments consécutifs t et t -\- dt, si Von néglige les infiniment petits d'un ordre 

 supérieur h dt^ et si l'on ne tient jjas compte de certains points ou lignes 

 singuliers de la surface. 



Remarque. Le théorème 5, qui peut aussi bien que le théorème 

 .■1 servir à la fondation d'une équation à la surface, est énoncé sans in- 

 troduction d'hypothèse. On a seulement restreint le problème au cas par- 

 ticulier où les conditions y formulées se trouvent réunies. Si ces con- 

 ditions ne sont pas remplies, ce dont on peut juger dans chaque cas 

 particulier, il faut tenir compte de l'évaporation, ou de la discontinuité 

 matérielle qui aura lieu si la pression à l'intérieur du fluide devient né- 

 gative, ou des lignes singulières de la surface, ou des chocs discontinus 

 à la surface etc. 



§ 4. , 

 Représentons par 



(1) F{xyzt)=.0 



l'équation de la surface. En négligeant les infiniment petits d'ordre su- 

 périeur, il faut donc, en vertu du théorème 5, qu'on ait au moment t -{-dt 



