8 H. Petrini, Sur la condition a la surface etc. 



de chaque particule, on emploie le théorème A^ on obtiendra une con- 

 dition plus restreinte que si l'on emploie le théorème 5, celui-ci n'ex- 

 cluant pas les cas, où une partie de la surface se meut vers l'intérieur 

 du fluide. 



L'expression mathématique de cette différence des deux conditions 

 aux limites est très facile à trouver. Dans le cas du théorème A la 

 trajectoire (a) des points abc (/?*) se trouve toujours sur la surface 

 (1), c'est-à-dire que l'équation (1) est satisfaite, si l'on y remplace xi/z 

 par leurs valeurs tirées des équations (/?) où abc sont des quantités 

 constantes qui satisfont à l'équation 



(l:a) F(abcto) = , 



où ^0 est une valeur spéciale de t. Les quantités abc étant constantes 

 on peut dans l'équation (3*) diflférentier totalement, c'est-à-dire 



(3:a) ^— = Ö ' 



où .xyz sont déterminés au moyen des équations (/5) et (l:a). L'équa- 

 tion (3*) peut aussi être représentée par l'expression (3:a), mais la déri- 

 vation est symbolique, parce que les quantités ab c y sont regardées 

 comme constantes quoique en réalité elles soient variables. Mais on 

 peut formuler mathématiquement la différence entre les deux théories, si 

 l'on regarde les coordonnées xy z comme connues à priori et les abc 

 comme des fonctions déterminées au moyen des équations (/5*)- Au lieu 

 de (3:a) on peut écrire 



(3'^'-^a) ^F{§v'Qt) = 0, 



at 



où les 1 7] 'Ç sont déterminés au moyen des équations (a) comme fonc- 

 tions des abc et ceux-ci sont exprimés en fonctions de xyzt au moyen 

 des équations (/5*). En comparant l'équation (3*:a) avec l'équation (3*), 

 on trouve que dans le cas du théorème A non seulement cette équation 

 (3''') doit être satisfaite, mais aussi l'équation 



..-. V yf'àF{xyzt) 'b'êiabct 'àa{xyzt)_ç. 



xyz abc 9.Ï 9fl! 9f 



OÙ l'on regarde les points xy z de la surface comme donnés. 



