Sur le développement de quelques fonctions discontinues etc. 3 

 et des équations (7), (8), (9), (11) on tire 



(14) <p(+0) = <p(,0) , cp(l-0) = cp(l) . 



Pour la fonction (p{a;) ainsi définie nous obtiendrons par suite des 

 équations (4) et (5) le développement 



a '"^" 



(15) y(.r) = -^ 4- 2 ((I'm cos 2 mnx -f- b^ sin 2mnx) 



^ m=l 



pour < a' < 1 et 



(16) *m±l(ü = |L+-fa., 



où il reste à calculer les coefficients a„ et è,„. De l'équation (2) on tire 

 pour ??i > 



(17) a™ =2 i j "^'(f- (t) cos 2 mn t dt 

 et, par conséquent, d'après l'équation (8), 



5=11—1 r^s+i 



(18) a» = 2 2 (Co + q + h c») I cos2m7i<rf^. 



Pour m = on en tire 



s=n — 1 



(19) a^ = 2 l (c, + q + .... + <;,) (xs+^ - X,) 



ou, d'après quelques réductions et en faisant usage des équations (7), 



(20) «o = 2"T^v(l-x.) . 



r=0 



Pour m > 1 on déduit de l'équation (18) 



1 J = I!-1 



(21) a„ = — 2 («^o + ^'i H — . + c,){sm2m7ix,+i~Biu2mnx,) 

 et par suite, en réduisant et en employant les formules (7), 



1 f=n— l 



(22) cim = 2 CrSm2mnXr . 



71171 ,_n 



