Sue le développement de quelques fonctions discontinues etc. 7 



Des équations (31) et (34) on conclut, que la condition (27) est 

 remplie, et par conséquent nous obtiendrons pour < a; < 1 le déve- 

 loppement 



a '""" 

 (43) ^>{x) = -2. -f 2) (a,,, cos 'imnx -)- 6„ sin 'imnx) . 



En y substituant les expressions ci-dessus de la fonction if{x) nous 

 aurons pour < .r < 1 les formules 



r=« 



(44) 21 ^r = -^ -}- Z (a,„ COS 2m7ïa; + 6^ sin 2m7ra;) , 



si la variable x n'est pas multiple de - , et 



n 



(45) 2 ^r — ^ = -^ -f- 2] («m COS 2m7ra; -|- 6^ sin 2m7ta;) , 



si a- est multiple de -, le nombre s étant déterminé dans ces deux for- 



n 



mules par l'équation (42). Quant aux coefficients a^ et 6„, nous trouve- 

 rons d'après le théorème I et par application des équations (33), (34), 

 (30), (31) 



O r=«— I 



(46) flo = - - 2 9r'^ 1 



(47) a,„ = 2 ^r sin pour m > 1 , 



myr ,=1 »î 



(48) 6„. = — 'T' .7r COS ^JIllIL pour m > 1 . 



Si l'on remplace x par a; + 1 dans les équations (44) et (45), les 

 seconds membres ne changeront pas; le nombre s sera transformé en 

 s -{- n d'après la formule (42), mais d'après les équations (30), (31), (32) 

 les premiers membres des équations (44) et (45) ne changeront pas par 

 cette substitution. Puisque les formules (44) et (45) sont démontrées 

 pour < ,« < 1 , elles subsisteront donc pour toutes les valeurs de la 

 variable j;, qui satisfont à l'inégalité 



(49) x^O . 



Par là le théorème suivant est démontré. 



