18 A. Berger, 



qui subsistent, si x n'est pas multiple de - ; de même nous obtiendrons 



n 



des équations (104) et (106) les deux formules 



/■innN • nnx , 7171X 2 , 2"^" 1 , 2m7i ^ 

 (109) siu 1- cos = - -j — 2l — tg cou 2 mnx 



2 2 n n ,^=1 '" f^ 



et 



/nnN • nnx nnx i . o , 2 '"v" 1 2 myt . „ 



(110) sin cos = — l4.2.r-4 — a — sec sm 2mTix , 



^ ^ 2 2 ^ ^ n ^^m n ' 



qui subsistent, si x est multiple de - . 



11 



Nous résumons les formules (94), (107), (109) dans le théorème 



suivant. 



Théorème IV. Si l'on désigne par x une variable réelle^ qui satis- 

 fait aux inégalités 



< ce < 1 , 



et par n un nombre entier^ supérieur ou égal à 5, qui satisfait à la con- 

 gruence 



n = 1 , mod. 4 , 

 on aura 



(—1) + (_ 1) = _ ^ _ V — tg cos 27nnx , 



n n „,^1 m n 



M X n'es? pas multiple de - , mais 



. nnx nnx 2 2'"^" 1^ 2mn „ 



- sm \- cos = — I — 2i — ^S cos 2mnx , 



2 2 n n ^^^ m n 



si X est multiple de - . De plus on aura 

 n 



(n-l)n "v" 1 + 2m7i 



^ ^ = Z - tg . 



n „,=1 m n 



