Sub le développement de quelques fonctions discontinues etc. 19 



Pour X = - nous obtiendrons de ce théorème la formule 

 2 



/11 IN '1 / iN^'l "■=»(_ l)*"-! 2m7z 

 (111) l--(-l) (^= 1 ^— tg . 



IW I m=l "^ W 



Des équations (108) et (110) nous obtiendrons ce théorème: 



Théorème V. En désignant par x une variable réelle, qui satisfait 

 aux conditions 



< a; < 1 , 



et par n un nombre entier supérieur ou égal à 5 , qui satisfait à la congruence 



n = 1 , mod. 4 , 

 on aura 



(—1) — (— 1) = — l-f-2a'-| — 21— sec sin 2 rnnx , 



n „^, m n 



■si X n'est pas multiple de - , mais 



n 



. nnœ nnx t . a ,2 "'^" 1 2mn . ^ 

 sm cos = — 1 + 2.Ï 4 — 2. — sec sin 2 jn7i,r , 



ni=l 



si X 65^ multiple de - . 

 n 



Par la substitution a' = - nous déduirons de ce théorème 



4 



/11 ON / IN ^'"^ / iN^*'^ 1 2 %" 1 2mn ■ mn 



(112) (-1) -(-1) =_ +- 2 -sec— — sin— - . 



2 TT „^i m n ^ 



Puisqu'on a sin — = pour les nombres pairs m, nous pouvons 



ù 



substituer 2?« — 1 au lieu de m dans le second membre de cette équa- 

 tion, et nous aurons 



(UB) (- O'^^L (_ :;'-L _ I + ! Y ^Zirl sec ^-(^l> . 



